Matematik araştırmalarında kabul edilemez bir şey var mı?

Hayır, ancak Y kullanmadan X'i kanıtlamaya araştırma için bile çok yararlı bir kavramdır çünkü ilginç genellemelere veya daha geniş bir problem setine uygulanabilecek yeni ispat tekniklerine yol açabilir.

Örneğin, bir anlamda Lebesgue integrali "sadece" integrallerin özelliklerini f sürekliliğini kullanmadan kanıtlamaya çalışıyor veya matroid teorisi "sadece" vektör uzayı yapısından pek çok özellik kullanmadan doğrusal olarak bağımsız vektörlerin özelliklerini kanıtlamaya çalışmak.

Dolayısıyla, eğer aklınızdaki şey buysa, bu anlamsız bir egzersiz olmaktan çok uzak.

Sorduğunuz anlamda, araştırmacının "buna hazır olmadığı" için kabul edilemez olduğuna karar verilen bir yöntem olduğunu hayal bile edemiyorum. Her entelektüel yaklaşım, potansiyel olarak adil bir oyundur.

Bir çalışmanın özel amacı, bir şeyi oluşturmak için alternatif bir yaklaşım bulmaksa, bir veya daha fazla önceki yöntemin dışlanması pekala mümkün olabilir. başka bir bağımsız yolla oluşturmak istediğiniz sonucu varsayacağı için kapsam. Örneğin, e sabiti çeşitli şekillerde türetilmiştir.

Son olarak, saf teorinin dışına çıkıp deneysel çalışmaya adım attığınızda, deneysel çalışmanın yöntem. Deneyin sakıncalı doğası nedeniyle birçok potansiyel yaklaşım kabul edilemez olarak kabul edilir. Aşırı durumlarda, bu tür Nazi tıbbi deneyleri, önceki çalışmaya atıfta bulunulsa bile kabul edilemez olarak değerlendirilebilir.

Şunu belirtmek gerekir ki teoremler, döngüsel teorem ispatına yol açarlarsa genellikle kabul edilemezler. Eğer matematik çalışırsanız, matematiksel teorilerin lemmanın lemma tarafından ve teoremin teorem tarafından nasıl oluşturulduğunu öğrenirsiniz. Bu teoremler ve bağımlılıkları yönlendirilmiş döngüsel olmayan bir grafik (DAG) oluşturur.

Belirli bir teoremin ispatını yeniden üretmeniz istenirse ve "daha sonra" bir sonuç kullanırsanız, bu sonuç genellikle kanıtlamanız gereken teoreme bağlıdır, bu nedenle onu kullanmak sadece eğitim için kabul edilemez değildir nedenlerle, aslında DAG bağlamında yanlış bir kanıta yol açar.

Bu anlamda, araştırmada kabul edilemez teoremler olamaz, çünkü araştırma genellikle "en son" teoremleri kanıtlamaktan oluşur. Bununla birlikte, bilinen bir sonucun daha kısa, daha zarif veya daha güzel bir kanıtını yayınlarsanız, tekrar kabul edilemez teoremlere dikkat etmeniz gerekebilir.

Araştırmada gerçekten kabul edilemez teoremler olmasa da, bazen kaçınmaya çalışılan bazı şeyler vardır.

Akla iki örnek gelir:

Birincisi, sonlu basit gruplar. Sınıflandırmanın kendisi özellikle karmaşık değildir, ancak kanıt saçma bir şekilde böyledir. Bu, grup teorisinde çalışan matematikçilerin mümkün olduğunda onu kullanmaktan kaçınmasını sağlar. Aslında, önemli bir sonuca dayanıyorsa, bir makalede sıklıkla açıkça belirtilir.

Bu tercihin nedeni, muhtemelen bir dereceye kadar, ispatın insanların tam güvene sahip olamayacak kadar karmaşık olmasıydı. , ancak benim izlenimim şu ki artık durum böyle değil ve tercih şimdi, sınıflandırmaya güvenmenin bir sonucun doğruluğu için "gerçek nedeni" daha opak hale getirmesi ve dolayısıyla daha fazla sonuç verme olasılığını azaltması gerçeğinden kaynaklanıyor. içgörüler.

Diğer örnek, sözde Kazhdan-Lusztig varsayımını tamamen cebirsel yöntemler kullanarak kanıtlamaya çalışmak için harcanan büyük çabadır.

Sonucun kendisi doğası gereği cebirseldir, ancak orijinal ispat, geometriden çok sayıda çok derin sonuç kullanır, bu da onu bu geometrik yapıya izin vermeyen ortamlarda bir atlama taşı olarak kullanmayı imkansız kılar.

Böyle bir cebirsel ispat, 2012'de Elias ve Williamson tarafından, Soergel'in varsayımını kanıtladıklarında elde edildi. birkaç sonuçtan biri olarak azhdan-Lusztig varsayımı.

Bu ispatta kullanılan teknikler, tam olarak umulduğu türden genelleştirmelere izin vererek, önce Lusztig'in 2013 varsayımını çürütmeye yol açtı ( Kazhdan-Lusztig varsayımı) ve ardından Lusztig'in 2015 (A $ tipi için) ve 2017 (genel olarak) varsayımının en azından karakteristik üzerine bazı hafif varsayımlar altında değiştirildiğinin bir kanıtı.

Araştırmacının kendisini belirli teoremleri kullanmakla kısıtladığı durumlar vardır. Örnek:

Atle Selberg, "Asal sayı teoreminin temel bir kanıtı". Ann. of Math. (2) 50 (1949), 305--313.

Yazar, kendisini yalnızca "temel" ( teknik anlamda) yöntemler.

Diğer durumlar, yalnızca cetvel ve pergel kullanan geometride ispatlar olabilir. Gauss, normal 257-gon'un cetvel ve pergellerle yapılabileceğini gösterdi. Bunu "bilinen bir sonucun yeni bir kanıtı" olarak görmüyorum.

Arkadaşınızın yaptığı hata l'Hôpital'in kullanımı değil, doğru olduğuna dair kanıt bulunmamasıydı. Eğer l'Hôpital'i bir lemma olarak ifade etmiş ve yeterince temel bir kanıt sunmuş olsaydı, muhtemelen öğretim görevlisinin çözümle ilgili bir sorunu olmazdı.

Araştırma matematiğinde benzer bir fenomen olur. Araştırmacıların sonucun doğru olduğundan oldukça emin olduğu ve sonucu kanıtlama tekniklerinin bilindiği, ancak hiç kimsenin kanıtı yazmadığı veya en azından yayınlamadığı pek çok folklor sonucu var. Bunlar, örneğin, kısmi diferansiyel denklemler için klasik düzenlilik teorisinde bulunabilir.

Bunu bir araç olarak kullanırken böyle bir sonucun kanıtı sağlanmalı mı? Bazen insanlar net bir şekilde sonuca başvururlar. Kanıt basit olsa da, belirli bir makale kadar olmasa da bazen bunu "literatürde bir kanıt bulamadığımız için" ispatlıyorlar. Bu durumlarda kesinlikle doğru bir çözüm yoktur.

Folklor sonuçlarının, araştırma matematiğinde elde edilen kadar "kabul edilemez" olmaya yakın olduğunu düşünüyorum; onlar konusunda dikkatli olunmalı, bazen ispatlanmalı, ancak bazen kanıt olmadan da kullanılıyorlar.

Belki de bazı sonuçların aslında teorem olmadıkları için bir anlamda kabul edilemez olduğunu belirtmekte fayda var. Bazı varsayımlar / aksiyomlar o kadar merkezidir ki, henüz kurulmamış olsalar bile yaygın olarak kullanılmaktadırlar. Bunlara dayanan kanıtlar, bunu hipotezlerde netleştirmelidir. Ancak, kötü bir gün geçirmek ve sık kullandığınız bir şeyin henüz gerçekten kanıtlanmadığını veya kullanmak istediğiniz daha sonraki bir sonuç için gerekli olduğunu unutmak o kadar da zor olmaz.

Sezgisel mantık ve yapıcı matematikte, matematikte kullanılan normal araçların çoğunu dışarıda bırakan dışlanmış orta yasası olmadan işleri kanıtlamaya çalışırız. Ve genel olarak mantıksal olarak, yalnızca belirli bir aksiyom kümesini kullanarak bir şeyleri kanıtlamaya çalışırız, bu da genellikle 'normal' sezgilerimizi takip etmemize izin verilmediği anlamına gelir. Özellikle farklı güçteki çoklu aksiyomatik sistemlerde bir şeyi ispatlarken, bazı araçların ancak sonuna doğru (daha güçlü sistemler) mevcut olduğunu ve daha zayıf sistemlerde bu kadar kabul edilemez olduğunu görebilirsiniz.

Ana sorunuzu yanıtlamak için hayır . Hiçbir şeye izin verilmiyor. Herhangi bir danışman herhangi bir geçerli matematiğe izin verir (veya en azından gerekir). Matematikte, özellikle doktora araştırmalarında izin verilmeyen hiçbir şey yoktur. Elbette bu, Poincaré teoreminin kabulünü (şimdi yerleşmiş) ima eder. Kabul edilen bir kanıttan önce ona güvenemezdiniz.

Aslında, varsayıma dayalı bir tez bile yazabilirsiniz (Prof Buffy'nin Büyük Teoremi doğruysa, o zaman bunu takip eder ...). Kanıtlanmamış şeylerin sonuçlarını keşfedebilirsiniz. Bazen bunların bilinen sonuçlara bağlanmasına yardımcı olarak "büyük teoremin" kanıtına yol açar ve bazen de onu yanlış gösteren bir çelişkiye yol açar.

Ancak, bir sorunum var Öğrencileri öğretmek ve incelemek için neyin uygun olduğuna dair bilgi vermişsiniz. Öğrencinin bildiği hiçbir şeye izin vermeyen ilk profesörün bilgeliğini sorguluyorum. Bu ileri görüşlü görünüyor ve profesörü sadece bazı şeylerin geçmesine izin veren bir kapıya dönüştürüyor.

Elbette, profesör öğrenciyi belirli bir teknik üzerinde test etmek isterse, bunu yapan sorular bulmaya çalışabilir, ancak bu aynı zamanda genel olarak sınavların temel aptallığına da işaret eder. Öğrencinin temel teknikleri öğrenmesini sağlamanın başka yolları da vardır.

Üniversite eğitimi, diğer öğrencilerle rekabet ve haksız avantaj (dehşet) sorunuyla ilgili değildir. öğrenmekle ilgili. Profesör veya sistem öğrencileri rekabetçi bir şekilde derecelendirirse, kötü bir iş yapıyorlar.

Dünyanın kesinlikle en iyi 20 öğrencisine sahipseniz ve tamamen rekabetçi bir şekilde not verirseniz, bunların yarısı ortalamanın altında olacaktır.

Araştırmada kabul edilemez teoremler olduğunu sanmıyorum, ancak belli bir problem için henüz kanıtlanmamış varsayımlara güvenmemeye özen gösterilmesi gerektiği açık.

Ancak, doktora açısından ya da doktora sonrası çalışmalar, gerçekten akademik olmayan nedenlerden dolayı bazı yaklaşımların daha çok "konu dışı" olabileceğini düşünüyorum. Örneğin, X konusunu incelemek için bir doktora fonu alırsanız, normalde bunu Y'yi çalışmak için kullanmamalısınız. Benzer şekilde, A yöntemini geliştiren bir takımda doktora sonrası bir doktora sahipseniz ve rakibinizin B yöntemini çalışmak istiyorsanız PI, B'ye harcadığınız zamanı sınırlı tutmak isteyebilir, böylece bu, A'yı geliştirmek için harcadığınız zamanı aşmaz. Bazı PI'lar, bazı C yöntemlerine dokunmanıza bile tahammül edemeyecekleri bir anlamda oldukça ünlüdür, önemli nedenler, bu nedenle, C yöntemini keşfetme konusunda tam akademik özgürlüğünüz olsa bile, mevcut iş düzenlemelerinizde bunu yapmak "kabul edilemez" olabilir.

Akademi dışından, yani ticari / devlet araştırma kuruluşundan, ilgili bir bakış açısı vereceğim.

sınav mantığı , bir araştırma sorusunun yalnızca sağlanan bir veri seti ile yanıtlanabileceğini ve diğer verilere, sonuçlara, çalışmalara vb. atıfta bulunamayacağını varsayarlar.

Buldum Bu sınav zihniyetinin son derece sınırlayıcı olması ve araştırmacı veya yöneticinin (çoğunlukla sınava dayalı) eğitiminden aşılanan araştırma hakkında yanlış bir kanıya sahip olması nedeniyle ortaya çıkmaktadır.

Mesele şu ki, Verileri / teknikleri / çalışmaları keyfi gerekçelerle kullanmak, araştırmayı engellemektedir. Ticari kuruluşlar için kar elde etme fırsatlarının kaçırılmasına veya hükümetler yeni bir politika uyguladığında veya yeni ilaçların gözden kaçan yan etkilerinin vb. Sonuçlarının kaçırılmasına yol açar.

Teorik Bilgisayar Bilimi ve algoritma tasarımından küçük bir örnek ekleyeceğim.

kombinatoryal (hatta LP tabanlı) bulmak çok önemli bir açık problemdir. ) Polinom zamanında MaxCut problemini yaklaştırmak için Goemans-Williamson sınırını (0.878) elde eden algoritma.

Alfa = 0.878 yaklaşım faktörünün bir sınırı olan Yarı Sonlu Programlama tekniklerini kullandığımızı biliyoruz. çoklu zamanda elde edilebilir. Ancak bunu başka teknikler kullanarak başarabilir miyiz? Biraz daha az hırslı ama muhtemelen eşit derecede önemli: Yaklaşık garantili bir kombinatoryal algoritma 1 / 2'den daha sıkı bir şekilde bulabilir miyiz?

Luca Trevisan spektral teknikleri kullanarak bu yönde önemli ilerleme kaydetti.

Araştırmada, bir çözümü göstermek için en uygulanabilir yöntemi (bildiğiniz) kullanırsınız ve muhtemelen çözümünüzün sorulduğu veya alternatif yaklaşımlar önerildiği durumlarda da olursunuz (ve sonra yeni bir yöntem öğrenirsiniz) .

L'Hôpital'in kuralının "izin verilmediği" örnekte, sorunun yalnızca öğretilen yöntemlerin olduğu varsayılarak "bunu çöz" sorusu gibi göründüğü için sorunun daha iyi ifade edilmesi olabilir Kurstaki öğrenciler tarafından bilinir ve bu nedenle sınavda yalnızca derste öğretilen yöntemler kullanılacaktır.

Tamamen Matematik araştırmalarında, konuya olan ilgiyi göstermenin bir yolu ve muhtemelen keşfedilecek alanı daraltmanın bir yolu dışında bilgisayarla kaba kuvvet yaklaşımlarına izin verilmediğinden eminim. Belki çözüme bir yaklaşım önermek için bile.

Matematik araştırması, kesin bir cevabı tanımlayan denklemler ve cevabın yerleşik matematik gerçeklerinden ve teoremlerinden türetilerek doğru olduğuna dair kanıt gerektirir. Bilgisayar yaklaşımları, bir yanıtın aralığını daraltmak için daha küçük aralıklar kullanabilir, ancak aslında L'hospital stilinin sonsuz küçük sınırına ulaşmazlar.

Bilgisayarlı türetmelerin ayrı alanı, temelde sadece zaten bilinenleri otomatikleştirir. Eminim pek çok yer araştırmacıları, bu tür bir yazılımın gittiği sürece işin dokümantasyonunu hızlandırmak için bu tür bir bilgisayarlaştırmayı kullanma özgürlüğüne bırakmıştır. Sorunu formüle etmek, varsayımları sunmak ve denenecek mevcut çözüm adımlarını seçmek için hala bol miktarda insan rehberliğine ihtiyaç olduğuna eminim. Ancak önemli olan, tüm bu tür yazılım türetmelerinin, herhangi bir yazılım hatası için dışarıdan incelemeden önce elle doğrulanması gerektiğidir ve bu teknikler, izin verilen sınırlar (teoremlerin IF kısmı, vb.)

Ve bu tür el kontrollerinden sonra ... kaç matematik araştırmacısı yardım için bilgisayar yazılımına kredi verir?

Uygulamaların matematikçilerinin yazılımı, meslektaşları için 1980'lerde iş yolunun makul olup olmadığını kontrol etmek için hızlı bir kontrol yöntemi olarak gösterdiğini gördüm. Bu uygulamalarda matematiğin bazen pratik sonuçlarla ilgili neredeyse mühendislik matematiği görüşü vardır, sanırım bilgisayar yazılımı tahminlerini resmi türevlerden SONRA hızlı bir gösterim olarak veriyorlar. Ve ben, uygulamaların matematiğinin bazen probleme en yakın yaklaşımı çözdüğünü duydum, ancak sorunun çözümü hala onlardan kaçınıyor. Dolayısıyla, bilgisayar yazılımı türetme yoluyla yardım için yine daha fazla alan. Yine de bu tür yöneylem araştırması türü konuların herkesin matematiksel araştırma tanımına uyduğundan emin değilim.

Daha kısa terimlerle, evet bilgisayar yaklaştırma teknikleri, çözümlerde olası yakınsama alanlarını aramak için genellikle av tüfeği tarzında kullanılır. "Bana bir ipucu ver" gibi. Özellikle gerçek dünya sınırlarının tanımlanabildiği uygulamalı matematik konularında.

Yine bir soru var, temel fizik dışındaki gerçek dünya problemleri gerçek matematik araştırması mı, yoksa çok daha gevşek uygulamalı matematik mi, hatta yöneylem araştırması mı?

Ancak teoremlerin temelde yatan ve kanıtlanmış teoremlerden yeni teoremlere doğru türetilmesinde ... bilgisayarlar düzyazı için kelime işlemcilere benzer dokümantasyon araçlarıyla daha sınırlıdır. Kelime işlemciler düzyazı için yazım ve dilbilgisini kontrol ettikçe, belgelenmiş çalışmanın daha yaygın denklem kontrolünü hızlandırmak için araçlar gittikçe daha önemli hale geliyor. Ve insanların geçersiz kılması veya yönlendirmesi gereken daha fazla alan.

Seçim aksiyomu (ve sonuçlarını) matematik camiasında bugünlerde oldukça kabul görüyor, ancak bazen bunun "yanlış" olduğunu düşünen birkaç eski okul matematikçiyle karşılaşabilirsiniz ve bu nedenle, aynı zamanda "yanlış" olduğunu kanıtlamak için seçim aksiyomunu kullanırsınız. (Elbette, seçim aksiyomunun "yanlış" olmasının ne anlama geldiği büyük ölçüde felsefi bir sorudur.)